Question

已知数列{a_n}满足如图所示的流程图
（Ⅰ）写出数列{a_n}的一个递推关系式；
（Ⅱ）证明：{a_n+1-3a_n}是等比数列；并求出{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）依题意，由程序框图即可写出数列{an}的一个递推关系式；a1=a2=1，
（Ⅱ）令an+2-man+1=p（an+1-an），依题意可求得m=3，p=2，利用等比数列的定义可证：{an+1-3an}是等比数列；利用累加法可求出{an}的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知an=2n-3n-1，利用错位相减法即可求得Tn．
【解析】
（Ⅰ）依题意，a1=a2=1，an+2=5an+1-6an；
（Ⅱ）令an+2-man+1=p（an+1-man），则，
解得m=3，p=2或m=2，p=3．
取m=3，p=2，则=2，又a2-3a1=1-3=-2，
∴{an+1-3an}是以-2为首项，2为公比的等比数列，
∴an+1-3an=（-2）•2n-1=-2n．
∴-=-•．
∴-=-•，
…
-=-•，
∴-=-[++…+]=-×2[1-]=-+．
∴=-+，
∴an=2n-3n-1．
（Ⅲ）∵an=2n-3n-1，
∴an+3n-1=2n，
∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①
2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1，②
①-②得：-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=2n+1（1-n）-2，
∴Tn=（n-1）•2n+1+2．