Question

在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，设O为坐标原点，点P的坐标为（x-2，x-y），记ξ=．
（I）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer

（I）由题意知x、y可能的取值为1、2、3，求出变量ξ的可能取得的最大值，根据等可能事件的概率写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，求得概率；
（II）由题意知ξ的所有取值为0，1，2，5，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式得到概率，从而可得分布列和期望．
【解析】
（Ⅰ）∵x、y可能的取值为1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ≤5，且当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=5．
因此，随机变量ξ的最大值为5．
∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，
∴P（ξ=5）=．
即随机变量ξ的最大值为5，事件“ξ取得最大值”的概率为；
（Ⅱ）由题意知ξ的所有取值为0，1，2，5．
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一种情况，
ξ=1时，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况．
∴P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，
当ξ=5时，由（Ⅰ）知P（ξ=5）=．
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ 1 2 5
P

∴数学期望Eξ=0×+1×+2×+5×=2