如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心平面AA1...

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心 manfen5.com 满分网

平面AA₁B₁B且

．
（1）求异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值；
（2）求二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值．

（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得出；（2）先求出两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得，B（0，0，0），，，，．（1）易得于是===． ∴异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（2）易知．设平面AA1C1的法向量，则，即，不妨令，则z=，可得．同样可设面A1B1C1的法向量，得．于是===，∴． ∴二面角A-A1C-B1的正弦值为．

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考点分析：

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某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（A）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；
（B）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．