Question

如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点． 求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）BD⊥平面PAC．

Answer

（1）连接OE，根据三角形中位线定理，可得PA∥EO，进而根据线面平行的判定定理，得到PA∥平面BDE．
（2）根据线面垂直的定义，可由PO⊥底面ABCD得到BD⊥PO，结合四边形ABCD是正方形及线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC
证明（1）连接OE，
在△CAP中，CO=OA，CE=EP，
∴PA∥EO，
又∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）∵PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PO
又∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC
∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC
∴BD⊥平面PAC