Question

已知函数f （x）=ax²+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f （x-t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为    ．

Answer

对f（x）进行求导，根据它与直线y=x相切于点A（1，1），可得f′（1）=0，可得把点A代入得到方程，求出a，b，求出f（x）的解析式，根据题意对任意x∈[1，9]，不等式f （x-t）≤x恒成立，根据根与系数的关系进行求解；
【解析】
∵已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），
f′（x）=2ax+b，
∴f′（1）=1，可得2a+b=1①，又f（x）过点A（1，1）可得a+b+=1②，
联立方程①②可得a=，b=，
f（x）=x2+x+，
∵对任意x∈[1，9]，不等式f （x-t）≤x恒成立，
可得f（x-t）=（x-t+1）2≤x，
化简可得，x2-2x（t-1）+（t-1）2-4x≤0，在[1，9]上恒成立，
令g（x）=x2-2x（t+1）+（t-1）2≤0，在[1，9]上恒成立，
∴，
解①可得0≤t≤4，
解②可得4≤t≤14，
解③可得t≥4
综上可得：t=4，
故答案为4