Question

已知f（x）=ax-ln（-x），x∈（-e，0），，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=-1时，f（x）的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，．
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）把a=-1代入f（x）=ax-ln（-x），求导，分析导函数的符号，可得f（x）的单调性、极值；
（2）由（1）知f（x）在[-e，0）的最小值为1，要证，只需证的最大值小于1即可，利用导数求函数的最大值；
（3））假设存在实数a，使f（x）=ax-ln（-x）有最小值3，x∈[-e，0），求导，令导数等于零，解方程得到的方程的根是否在定义域（-e，0）内进行讨论，从而求得结果．
【解析】
（1）∵f（x）=-x-ln（-x）
∴当-e≤x＜-1时，f′（x）＜0，此时f（x）为单调递减
当-1＜x＜0时，f'（x）＞0，此时f（x）为单调递增
∴f（x）的极小值为f（-1）=1
（2）∵f（x）的极小值，即f（x）在[-e，0）的最小值为1
∴|f（x）|min=1
令
又∵
当-e≤x＜0时h′（x）≤0，h（x）在[-e，0）上单调递减
∴
∴当x∈[-e，0）时，
（3）假设存在实数a，使f（x）=ax-ln（-x）有最小值3，x∈[-e，0）
①当时，由于x∈[-e，0），则
∴函数f（x）=ax-ln（-x）是[-e，0）上的增函数
∴f（x）min=f（-e）=-ae-1=3
解得（舍去）
②当时，则当时，
此时f（x）=ax-ln（-x）是减函数
当时，，此时f（x）=ax-ln（-x）是增函数
∴
解得a=-e2