Question

定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ，（λ∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题：
①函数f（x）=2x+11是倍增函数，且λ=1倍增系数；
②若函数y=f（x）是倍增系数λ=-1的倍增函数，则y=f（x）至少有1个零点；
③函数f（x）=e^-x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）．
其中为真命题的是    ．（写出所有真命题的序号）

Answer

由f（x）=2x+11是倍增函数，知2（x+λ）+11=λ（2x+11），故由λ=≠1，知①不正确；函数y=f（x）是倍增系数λ=-1的倍增函数，知f（x-1）=-f（x），由此得到y=f（x）至少有1个零点；由f（x）=e-x是倍增函数，得到λ=∈（0，1）．
【解析】
∵f（x）=2x+11是倍增函数，
∴2（x+λ）+11=λ（2x+11），
∴λ=≠1，故①不正确；
∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-1的倍增函数，
∴f（x-1）=-f（x），
当x=0时，f（-1）+f（0）=0，
若f（0），f（-1）任一个为0，函数f（x）有零点．
若f（0），f（-1）均不为零，则f（0），f（-1）异号，
由零点存在定理，在（-1，0）区间存在x，f（x）=0，
即y=f（x）至少有1个零点，故②正确；
∵f（x）=e-x是倍增函数，
∴e-（x+λ）=λe-x，
∴=，
∴λ=∈（0，1），故③正确．
故答案为：②③．