Question

设函数f（x）=lg（-1）的定义域为集合A，函数g（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域为集合B．
（1）求f（）+f（）的值；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据函数奇偶性的定义，证出f（x）是奇函数，得f（）与f（）互为相反数，即得所求函数值的和；
（2）由对数的真数大于0，得集合A=（-1，1），再根据二次函数在闭区间上的值域求法，得集合B=[-3+a，1+a]．A∩B=∅得区间A在B的左边或右边，没有公共元素，由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=lg（-1）=lg
∴函数的定义域为{x|＞0}=（-1，1），关于原点对称
∵f（-x）=lg=lg（）-1=-lg=-f（x）
∴f（x）是奇函数，得f（）=-f（），
因此f（）+f（）=0；
（2）由（1），f（x）的定义域A=（-1，1），
∵函数g（x）=-x2+2x+a在区间[0，1]上是增函数，在区间[1，3]上是减函数
∴g（x）的最大值为g（1）=1+a，最小值为g（3）=-3+a
函数g（x）=-x2+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域B=[-3+a，1+a]
∵A∩B=∅，
∴1+a≤-1或-3+a≥1，得a≤-2或a≥4
即实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[4，+∞）