Question

已知函数f（x）=lnx+x²-mx
（1）若m=3，求函数f（x）的极小值；
（2）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数m取值范围；
（3）若m=1，△ABC的三个顶点A（x₁，y₁））、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），其中在函数f（x）的图象上，试判定△ABC的形状，并说明理由．

Answer

（1）确定函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的极小值；
（2）求导函数，函数f（x）在定义域内为增函数，转化为2x2-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值，即可求实数m的取值范围；
（3）由（2）知，当m=1时，函数在（0，+∞）上单调递增，利用=（x1-x2，y1-y2），=（x3-x2，y3-y2），求得•＜0，从而可得∠ABC为钝角，利用余弦定理可得结论．
（1）【解析】
函数f（x）的定义域为（0，+∞），
若m=3，则f（x）=lnx+x2-3x
∴f′（x）=
令f′（x）＞0，
∵x＞0，
∴0＜x＜或x＞1；
令f′（x）＜0，
∵x＞0，
∴＜x＜1
即函数f（x）在（0，）（1，+∞）上递减，在（，1）上递增，
∴x=1时，函数有极小值为f（1）=-2；
（2）【解析】
求导函数可得：f′（x）=
∵函数f（x）在定义域内为增函数，
∴f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立
∴2x2-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立
∴m≤2x+在（0，+∞）上恒成立
∵x＞0时，2x+≥2（当且仅当x=时取等号）
∴m≤2
∴实数m的取值范围为（-∞，2]；
（3）证明：由（2）知，当m=1时，函数在（0，+∞）上单调递增
∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且x1＜x2＜x3，
∴y1＜y2＜y3，
∴=（x1-x2，y1-y2），=（x3-x2，y3-y2），
∴x1＜x2＜x3，y1＜y2＜y3，
∴•＜0
∴cos＜，＞=＜0
∴∠ABC为钝角
∴△ABC为钝角三角形