Question

已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．
其中真命题的个数是    ．

Answer

分别加以判断：若m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，则m∥α，n∥α，但m不平行于n，故①不正确；若m∥α，则在α内可以找到直线m′，使m′∥m，再结合n⊥α，可得n⊥m′，最终得到n⊥m，故②正确；若m∥β，则在β内可以找到直线m′，使m′∥m，结合m⊥α，得m′⊥α，β经过α的垂线，所以α⊥β，故③正确．
【解析】
对于①：设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，
∵β∥α
∴m∥α，n∥α，
而m不平行于n，故①不正确；
对于②：∵m∥α，
∴在α内可以找到直线m′，使m′∥m，
又∵n⊥α，m′⊂α
∴n⊥m′，结合m′∥m，得到n⊥m，故②正确；
对于③：∵m∥β，
∴在β内可以找到直线m′，使m′∥m，
又∵m⊥α，得m′⊥α，
∵β经过α的垂线，
∴α⊥β，故③正确．
故答案为：2个