Question

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：；
（Ⅲ）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：-．

Answer

（Ⅰ）由f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0，知函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且，由f′（x）=0，得x=．列表讨论，能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）设∅（x）=ln（x+1）-，x∈[0，+∞），则∅′（x）==．由此能够证明．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，将代入，得，由此能够证明-．
（Ⅰ）【解析】
∵f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0，
∴函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且，
由f′（x）=0，得x=．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

 x  （-1，）    （，+∞）
 f′（x） -  0 +
 f（x） ↓  极小值 ↑

由上表知，当x∈（-1，）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-1，）内单调递减；
当x∈（）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（）内单调递增．
∴函数f（x）的增区间是（），减区间是（-1，）．
（Ⅱ）证明：设∅（x）=ln（x+1）-，x∈[0，+∞），
对∅（x）求导，得∅′（x）==．
当x≥0时，∅′（x）≥0，所以∅（x）在[0，+∞）内是增函数．
∴∅（x）＞∅（0）=0，即ln（x+1）-＞0，
∴．
同理可证ln（x+1）＜x，
∴．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，
将代入，
得，
即1，
∴，
故-．