Question

已知：圆x²+y²=1过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切，与椭圆相交于A，B两点记．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．

Answer

（Ⅰ）欲求椭圆的方程，只需求出a，b的值，因为圆x2+y2=1过椭圆的两焦点，可求出a，因为圆x2+y2=1与椭圆有且仅有两个公共点，可求出b，椭圆的方程可知．
（Ⅱ）因为直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，可把m用k表示，再让直线方程与椭圆方程联立，把λ用k表示，根据λ的范围，就可求出k的范围．
（Ⅲ）因为△OAB的面积S=|AB|•d，把|AB|用k表示，d=1，这样，S就可用含k的式子表示了，再把（2）中求出的k的范围代入，就可得到△OAB的面积S的取值范围．
解；（Ⅰ）由题意知，椭圆的焦距2c=2∴c=1
又∵圆x2+y2=1与椭圆有且仅有两个公共点，∴b=1，∴a=
∴圆的方程为
（Ⅱ）∵直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，∴原点O到直线的距离=1，即m2=k2+1
把直线y=kx+m代入椭圆，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0
设A（x1，y1），B（x1，y2），则
=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2
=（1+k2）+m2
∵，∴，解得，≤k2≤1
∴k的取值范围是[-1，-]∪[，1]；
（Ⅲ）|AB|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（1+k2）（x1-x2）2
=（1+k2）[-4]=（1+k2）[-]
=（1+k2）=2-
S△OAB2=|AB|2×1=（）
∵≤k2≤1，∴
∴，∴
即≤S△OAB2=≤
∴≤S△OAB≤
∴△OAB的面积S的取值范围为[，]