Question

已知正数x，y满足（1+x）（1+2y）=2，则4xy+的最小值是    ．

Answer

通过换元，化简函数式，利用基本不等式求出最小值．
【解析】
设m=x+1 n=2y+1 所以mn=2
x=1-m，
=2（m-1）（n-1）+
=2（（mn-m-n+1）+）
=2（（3-m-n）+）
∵
∴原式的最小值为12
方法二：
∵（1+x）（1+2y）=2，
∴1+x+2y+2xy=2
即x+2y=1-2xy≥2
令=t＞则xy=
即1-t2≥2t 则0＜t≤-1，则0＜t2=2xy≤3-2
不妨令u=2xy∈（0，3-2]
则4xy+=2u+，在区间（0，3-2]上单调递减
故当u=3-2时4xy+取最小值12
故答案为：12