Question

如图，用一块形状为半椭圆（y≥0）的铁皮截取一个以短轴BC为底的等腰梯形ABCD，记所得等腰梯形的面积为S，则S的最大值是    ．

Answer

设D点坐标为（x，y）（x＞0），由点D在椭圆上知（y≥0），得y2=4（1-x2），用x，y表示出等腰梯形ABCD的面积为S=（|AD|+|BC|）|y|=（2x+2）•y=（x+1）•y，将y2=4（1-x2）代入得S2=（x+1）2•y2=（x+1）2•4（1-x2）=4（-x4-2x3+2x+1），利用导数求此函数的最值
【解析】
设D点坐标为（x，y）（x＞0），由点D在椭圆上知（y≥0），得y2=4（1-x2）
∴等腰梯形ABCD的面积为S=（|AD|+|BC|）|y|=（2x+2）•y=（x+1）•y（2分）
∴S2=（x+1）2•y2=（x+1）2•4（1-x2）=4（-x4-2x3+2x+1）=-4x4-8x3+8x+4（0＜x＜1）
（S2）'=4（-4x3-6x2+2），
令（S2）'=0，得2x3+3x2-1=0，即（x+1）2（2x-1）=0，
∵0＜x＜1，
∴x=，
又当0＜x＜时，（S2）'＞0；当＜x＜1时，（S2）'＜0，
∴在区间（0，1）上，S2有唯一的极大值点x=，
∴当x=时，S2有最大值为；
即当x=时，S有最大值为
故答案为：