Question

在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边，，且．
（I）判断△ABC的形状；
（II）若，求的取值范围．

Answer

（1）先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，利用二倍角公式和两角和公式整理求得sinB=sin2C，进而根据B，C的范围，求得B+2C=π，判断出A=C，即三角形为等腰三角形．
（2）利用平面向量的性质，依据已知条件求得a2+c2+2ac•cosB=4，根据a的值求得cosB的值．
【解析】
（1）由及正弦定理，得，
即sinBsinA-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C，即sinBsinA=sinAsin2C，
因为A是三角形内角，所以sinA≠0，
可得sinB=sin2C，
∵，∴，∴B+2C=π，
∵A+B+C=π，∴A=C，△ABC为等腰三角形．
（2）∵∴B∈（0，），
∴cosB∈（，1）
由（1）可知a=c，
由，得a2+c2+2ac•cosB=4，
∴a2=，
∴= cosB=a2•cosB==2-∈（，1）（12分）．