Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC₁上，已知AB=AC，AA₁=3，BC=CF=2．
（1）求证：C₁E∥平面ADF；
（2）若点M在棱BB₁上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？

Answer

（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，．由此能够证明C1E∥平面ADF．
（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，先证出AD⊥平面B1BCC1．再证明当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．
【解析】
（1）连接CE交AD于O，连接OF．
因为CE，AD为△ABC中线，
所以O为△ABC的重心，．
从而OF∥C1E．…（3分）
OF⊂面ADF，C1E⊄平面ADF，
所以C1E∥平面ADF．…（6分）
（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
由于B1B⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1，
所以平面B1BCC1⊥平面ABC．
由于AB=AC，D是BC中点，所以AD⊥BC．
又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，
所以AD⊥平面B1BCC1．
而CM⊂平面B1BCC1，于是AD⊥CM．…（9分）
因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，
所以CM⊥DF． …（11分）
DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF．
CM⊂平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF．…（13分）
当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．…（14分）