Question

如图，有三个生活小区（均可看成点）分别位于A、B、C三点处，AB=AC，A到线段BC的距离AO=40，∠ABO=（参考数据：tan）．今计划建一个生活垃圾中转站P，为方便运输，P准备建在线段AO（不含端点）上．
（I）设PO=x（0＜x＜40），试将P到三个小区距离的最远者S表示为x的函数，并求S的最小值；
（II）设∠PBO=a（0），试将P到三个小区的距离之和y表示为a的函数，并确定当a取何值时，可使y最小？

Answer

（1）利用直角三角形的边角关系及其勾股定理、函数的单调性即可得出；
（2）根据条件列出其表达式，利用导数得出其单调性，进而即可得出最小值．
【解析】
（1）在Rt△AOB中，∵AO=40，∠ABO=，∴==，
∴PA=40-x，PB=PC=，
①若PA≥PB，即40-x≥，即0＜x≤5时，S=40-x；
②若PA＜PB，即40-x＜，即5＜x＜40时，S=．
从而S=．
当0＜x≤5时，S=40-x单调递减，∴Smin=35；
当5＜x＜40时，S=，是增函数，∴S＞S（5）=35．
综上可知：当x=5时，S取得最小值为35．
（2）在Rt△BOP中，BP==，PO=BOtanα=，
∴y=2BP+（AO-PO）=40+2BP-PO==40+
∵，令y′=0，即，从而，
当0时，y′＜0；当时，y′＞0．
当时，可使y最小．