Question

如图，A，B是椭圆的左、右顶点，椭圆C的离心率为，右准线l的方程为x=4．
（I）求椭圆的方程；
（II）设M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM交l于点P，以MP为直径的圆记为⊙k．
（i）若M恰好是椭圆C的上顶点，求⊙k截直线PB所得的弦长；
（ii）设⊙k与直线MB交于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求该定点的坐标．

Answer

（I）由离心率为，得，由右准线l的方程为x=4，得．再根据b2=a2-c2联立方程组解出即可；
（II）（i）由条件易求直线AM的方程，从而可得P点坐标，进而可求得⊙k的方程，求出圆心到直线PB的距离，利用勾股定理即可求得弦长一半；（ii）设M（x，y）（y≠0），可表示出直线AM的方程，进而表示出P的坐标，由MB⊥PR可求得直线PR的方程，令y=0即可得打点R的横坐标，再根据点M在椭圆上即可求得xR值，从而可证明结论；
【解析】
（I）由题意得，，解得，又b2=a2-c2=3，
故所求椭圆的方程为；
（II）（i）因为M（0，），所以直线AM的方程为y=，
则点P的坐标为P（4，3），从而⊙k的方程为，其圆心为（2，），半径为，
又直线PB的方程为x-2y-6=0，
故圆心到直线PB的距离为，从而截直线PB所得的弦长为2=；
（ii）证明：设M（x，y）（y≠0），则直线AM的方程为y=，则点P的坐标为P（4，），
又直线MB的斜率为KMB=，而MB为直径，所以MB⊥PR，所以，从而直线PR的方程为y-=-，
令y=0，得点R的横坐标为，
又点M在椭圆上，所以，即，故xR=4-6×=-，
所以直线PQ与x轴的交点R为定点，且该定点的坐标为（-，0）．