Question

已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}满足下列条件：a₁=a≠0，a₂≠a₁，当n∈N^*时，a_n+1=f（a_n），且存在非零常数k使f（a_n+1）-f（a_n）=k（a_n+1-a_n）恒成立．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求k的值；
（2）求证：数列{a_n}为等比数列的充要条件是f（x）=kx（k≠1）．
（3）已知f（x）=kx（k＞1），a=2，且b_n=lna_n（n∈N^*），数列{b_n}的前n项是S_n，对于给定常数m，若的值是一个与n无关的量，求k的值．

Answer

（1）由an+1=f（an），f（an+1）-f（an）=k（an+1-an），得出an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1），又an+1-an=an-an-1，得出k=1
（2）充分性可直接证明，等比为k；必要性中由等比数列可得数列{an+1-an}是以a2-a1为首项，公比为k的等比数列，再根据k=0和k≠0进行讨论．
（3）确定{an}是等比数列，{bn}是等差数列，求出Sn，代入，求出k的值．
【解析】
（1）由已知an=f（an-1），f（an）-f（an-1）=k（an-an-1），（n=2，3，4…），得
an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1），（n=2，3，4…），
由数列{an}是等差数列，得
an+1-an=an-an-1，（n=2，3，4…）
所以，an-an-1=k（an-an-1），），（n=2，3，4…），得k=1．       …（4分）
（2）充分性证明：若f（x）=kx（k≠1），则由已知a1=a≠0，an+1=f（an）得an+1=kan，
所以，{an}是等比数列．                               …（6分）
必要性证明：{an}是等比数列，设公比为q，则有an=aqn-1，n∈N*
由f（an+1）-f（an）=k（an+1-an）及an+1=f（an）得an+2-an+1=k（an+1-an）
又a2-a1≠0，
所以数列{an+1-an}是以a2-a1为首项，公比为k的等比数列，
所以an+1-an=[f（a）-a]kn-1，
当n≥2时，an=[f（a）-a]（k+k1+k2+…+kn-2）+a…（8分）
①若k=1，an=[f（a）-a]（n-1）+a，（n≥2）
对n=1也成立．
数列{an}是公差为f（a）-a≠0的等差数列，不可能是等比数列，所以k≠1，
②k≠1，，（n≥2）
对n=1也成立．
所以=，
由数列{an}是等比数列知，，即f（a）=ka，
即f（a）=ka对任意非零实数都成立．
综上可得：数列{an}为等比数列的充要条件是f（x）=kx（k≠1）．…（10分）
（3）由（Ⅱ）知，数列{an}是首项为2，公比为k的等比数列，即an=2kn-1，bn+1-bn=lnk是一个常数，
故数列{bn}是等差数列，设公差为d，
依题意，，
当且仅当2b1-d=0或时，是一个与n无关的常数，不成立，
所以2b1-d=0，即2ln2=lnk，k=4．                                                   …（16分）