已知函数f(x)=(x
3-6x
2+3x+t)e
x,t∈R.
(1)若函数y=f(x)依次在x=a,x=b,x=c(a<b<c)处取到极值.
①求t的取值范围;
②若a+c=2b
2,求t的值.
(2)若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立.求正整数m的最大值.
考点分析:
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已知定义在R上的函数f(x)和数列{a
n}满足下列条件:a
1=a≠0,a
2≠a
1,当n∈N
*时,a
n+1=f(a
n),且存在非零常数k使f(a
n+1)-f(a
n)=k(a
n+1-a
n)恒成立.
(1)若数列{a
n}是等差数列,求k的值;
(2)求证:数列{a
n}为等比数列的充要条件是f(x)=kx(k≠1).
(3)已知f(x)=kx(k>1),a=2,且b
n=lna
n(n∈N
*),数列{b
n}的前n项是S
n,对于给定常数m,若
的值是一个与n无关的量,求k的值.
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已知点P是直角坐标平面内的动点,点P到直线l
1:x=-2的距离为d
1,到点F(-1,0)的距离为d
2,且
.
(1)求动点P所在曲线C的方程;
(2)直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上),分别过A、B点作直线l
1:x=-2的垂线,对应的垂足分别为M、N,试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况);
(3)记S
1=S
△FAM,S
2=S
△FMN,S
3=S
△FBN(A、B、M、N是(2)中的点),问是否存在实数λ,使
成立.若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
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如图,A,B是椭圆
的左、右顶点,椭圆C的离心率为
,右准线l的方程为x=4.
(I)求椭圆的方程;
(II)设M是椭圆C上异于A,B的一点,直线AM交l于点P,以MP为直径的圆记为⊙k.
(i)若M恰好是椭圆C的上顶点,求⊙k截直线PB所得的弦长;
(ii)设⊙k与直线MB交于点Q,试证明:直线PQ与x轴的交点R为定点,并求该定点的坐标.
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如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于A、B、C三点处,AB=AC,A到线段BC的距离AO=40,∠ABO=
(参考数据:tan
).今计划建一个生活垃圾中转站P,为方便运输,P准备建在线段AO(不含端点)上.
(I)设PO=x(0<x<40),试将P到三个小区距离的最远者S表示为x的函数,并求S的最小值;
(II)设∠PBO=a(0
),试将P到三个小区的距离之和y表示为a的函数,并确定当a取何值时,可使y最小?
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如图,三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,D、E分别是棱BC、AB的中点,点F在棱CC
1上,已知AB=AC,AA
1=3,BC=CF=2.
(1)求证:C
1E∥平面ADF;
(2)若点M在棱BB
1上,当BM为何值时,平面CAM⊥平面ADF?
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