Question

在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为．
（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．

Answer

（1）设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，进而分析可得，甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”，且事件A、B相互独立，由互斥事件的概率计算方法，可得答案；
（2）根据题意，分析可得随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～，进而可得分步列，计算可得答案．
【解析】
（1）设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，
则“甲选做第22题”为，“甲选做第22题”为，
进而可得，甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”，且事件A、B相互独立．
∴=；
（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～．
∴
∴变量ξ的分布列为：
（或）．