Question

左焦点为F的双曲线的右支上存在点A，使得直线FA与圆x²+y²=a²相切，则双曲线C的离心率取值范围是    ．

Answer

利用直线FA与圆x2+y2=a2相切，可求得切线的斜率为，再分析出切线AF的斜率小于渐进线y=x的斜率，即可求得双曲线C的离心率取值范围．
【解析】
设直线FA的方程为：y=k（x+c），∵直线FA与x2+y2=a2相切，
∴a=，
∴a2+a2k2=c2k2，
∴b2k2=a2，又k＞0，
∴k=，
∵切线与右支有交点A，则切线AF的斜率小于渐进线y=x的斜率，
即＜，
∴a2＜b2，又b2=c2-a2，
∴c2＞2a2．
∴e2=＞2，
∴e＞．