Question

设e为自然对数的底数，已知直线l：y=-e^-t（x-t）+e^-t，t＞-1，则直线l与两条坐标轴所围成的三角形面积的最大值等于    ．

Answer

分别令x=0与y=0可求得l与两条坐标轴的交点坐标，于是可得到所围成的三角形面积的表达式，继而可利用导数法求其最大值．
【解析】
∵直线l：y=-e-t（x-t）+e-t，
令x=0，y=（t+1）e-t，即A（0，（t+1）e-t）
令y=0，x=t+1，故B（t+1，0），
∵t＞-1，
∴S△OAB=|t+1|•|t+1|e-t=（t2+2t+1）e-t，
∴S′△OAB=（2t+2）e-t+（t2+2t+1）e-t×（-1）=e-t（1-t2），
∵t＞-1，
∴当t=1时，S′△OAB=0，
当t＞1时，S′△OAB＜0，当-1＜t＜1时，S′△OAB，＞0，
∴当t=1时，S△OAB有极大值，
∵S′△OAB=0的t的值唯一，
∴S△OAB的极大值就是最大值．
∴当t=1时，S△OAB有最大值，
S△OAB的最大值为×（1+1）（1+1）e-1=．
故答案为：．