Question

设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D且x₁+x₂=2a，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（a）=0．研究并利用函数f（x）=x³-3x²-sin（πx）的对称中心，可得=    ．

Answer

函数（x）=x3-3x2-sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，-2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=-4，再利用倒序相加，即可得到结论．
【解析】
∵f''（x）=6x-6+π2sinπx
又∵f''（1）=0
而f（x）+f（2-x）=x3-3x2-sinπx+（2-x）3-3（2-x）2-sin（2π-πx）
=-4
函数（x）=x3-3x2-sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，-2），
即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=-4
∴+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）=-4×4023
∴=8046
故答案为：-8046