(1)利用导数来讨论函数的单调性即可,具体的步骤是:(1)确定 f(x)的定义域;(2)求导数fˊ(x);(3)在函数 的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0;(4)确定 的单调区间.若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论.(2)当P=1时,f(x)≤kx恒成立,分离参数等价于k≥,利用导数求函数h(x)=的最大值即可求得实数k的取值范围;(3)由(2)知,当k=1时,有f(x)≤x,当x>1时,f(x)<x,即lnx<x-1,令x=,则得到,利用导数的运算法则进行化简,然后再相加,即可证得结论.
【解析】
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=,
当p>1时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当p≤0时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当0<p<1时,令f′(x)=0,解得x=.
则当x时,f′(x)>0;x时,f′(x)<0,
故f(x)在(0,)上单调递增,在上单调递减;
(2)∵x>0,
∴当p=1时,f(x)≤kx恒成立⇔1+lnx≤kx⇔k≥,
令h(x)=,则k≥h(x)max,
∵h′(x)==0,得x=1,
且当x∈(0,1),h′(x)>0;当x∈(1,+∞),h′(x)<0;
所以h(x)在0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,
所以h(x)max=h(1)=1,
故k≥1.
(3)由(2)知,当k=1时,有f(x)≤x,当x>1时,f(x)<x,即lnx<x-1,
∴令x=,则,即,
∴ln2-ln1<1,,
相加得1n(n+1)<1+…+.