Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n （n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{S_n+2}是等比数列．

Answer

（1）利用a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n，对n分别赋值，即可求a2，a3的值；
（2）再写一式，两式相减，化简即可得到结论．
（1）【解析】
∵a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n（n∈N*），
∴当n=1时，a1=2×1=2；   （2分）
当n=2时，a1+2a2=（a1+a2）+4，∴a2=4；  （5分）
当n=3时，a1+2a2+3a3=2（a1+a2+a3）+6，∴a3=8．（8分）
（2）证明：∵a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n（n∈N*），①
∴当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=（n-2）Sn-1+2（n-1）．②（9分）
①-②得nan=（n-1）Sn-（n-2）Sn-1+2
∴nan=n（Sn-Sn-1）-Sn+2Sn-1+2
∴nan=nan-Sn+2Sn-1+2．（11分）
∴-Sn+2Sn-1+2=0，即Sn=2Sn-1+2，
∴Sn+2=2（Sn-1+2）．          （13分）
∵S1+2=4≠0，∴Sn-1+2≠0，∴=2，（14分）
故{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．   （15分）