Question

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log₂3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．（-1，-1+2）
B．（-∞，-1+2）
C．（-∞，-1）
D．[-1+2，+∞）

Answer

根据抽象函数满足的函数值的性质确定出f（0）=0是解决本题的关键，结合f（0），f（3）的大小关系确定出该函数的单调性，将函数值的关系转化为自变量关系进而求解出实数k的取值范围．
【解析】
令x=y=0，得出f（0）=2f（0）⇒f（0）=0．
又根据f（3）=log23＞0=f（0），f（x）是R上的单调函数进一步确定出f（x）是R上的单调递增函数．
因此f（k•3x）+f（3x-9x-2）=f（k•3x+3x-9x-2）＜0=f（0）⇔k•3x+3x-9x-2＜0⇔k＜3x+-1，
根据基本不等式得到3x+-1≥=-1，当且仅当3x=，即x=时取等号，
因此k＜3x+-1对任意x∈R恒成立⇔k＜3x+-1的最小值，即k＜-1+．
故选B．