Question

如图，M是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，，四边形OMQP的面积为S，函数．
（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，求a的值．

Answer

（1）由题意，||=，化简得||=2|cosx|，从而得到•=2cos2x=1+cosx；四边形OMQP的面积S=||•||sin∠POM=sinx．代入题中的表达式并化简整理，得f（x）=2sin（x+）+1，利用正弦函数的单调性解不等式，即可得到函数f（x）的单调递增区间；
（2）根据f（A）=3，解出A=，再由面积正弦定理算出边c=4，最后利用余弦定理即可计算出边a的值．
【解析】
（1）由题意，得M（1，0），P（cosx，sinx），
∴=+=（1+cosx，sinx）
得四边形OMQP的面积S=||•||sin∠POM=sinx
•=||•||cos∠QOM=1××cosx
而===2|cosx|
∵0＜x＜，得cosx是正数，∴•=2cos2x=1+cosx
因此，=1+cosx+sinx=2sin（x+）+1
即函数f（x）的表达式为y=2sin（x+）+1
令-+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z），得-+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）
∴f（x）的增区间为[-+2kπ，+2kπ]（k∈Z）
（2）f（A）=2sin（A+）+1=3，得sin（A+）=1
结合A∈（0，π），得A=
∴，即×1×c×sin=，可得c=4
由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=12+42-2×1×4×cos=13
∴a=