Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD且AD=2，AB=BC=1，PA=λ（λ＞0）．
（Ⅰ）设M为PD的中点，求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）若二面角B-PC-D的大小为150°，求此四棱锥的体积．

Answer

解法一；（Ⅰ）M为PD的中点，要证CM∥平面PAB，取PA的中点N，只需证明直线CM平行平面PAB内的直线BN即可；
（Ⅱ）根据二面角B-PC-D的大小为150°，求出二面角的平面角，从而求得该四棱锥的高，代入体积公式即可求得结果；
解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．写出相关点的坐标，（Ⅰ）求出平面平面PAB的一个法向量，利用，即可证得结论；
（Ⅱ）根据二面角B-PC-D的大小为150°，求出PA=λ，代入代入体积公式即可求得结果．
解法一：（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接BN、NM，
在△PAD中，MN∥AD，且；
又BC∥AD，且，
所以MNBC，即四边形BCMN为平行四边形，CM∥BN．
又CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB，故CM∥平面PAB．…（5分）
（Ⅱ）如图，连接AC，则二面角B-PC-D的大小等于二面角B-PC-A的大小与二面角D-PC-A的大小的和．
由，知DC⊥AC，又DC⊥PA，所以DC⊥平面PAC，即平面PDC⊥平面PAC，
所以二面角D-PC-A的大小为90°．
于是二面角B-PC-A的大小为60°，
过B作BE⊥AC于E，过E作EF⊥PC于F，连接BF，
由PA⊥面ABC，BE⊂面ABC，∴PA⊥BE．
又BE⊥AC，AC∩AP=A，∴BE⊥面PAC．
又PC⊂面PAC，∴BE⊥PC．
∵EF⊥PC，EF∩BE=E，∴PC⊥面BEF，
∵BF⊂面BEF，∴BF⊥PC
即∠EFB为二面角B-PC-A的平面角．…（9分）
在Rt△ABC中，，又易知△PBC为Rt△，且，
∴，解得λ=1．…（11分）
所以四棱锥P-ABCD的体积为．…（12分）
解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，λ）．…（2分）
（I）由M为PD中点知M的坐标为（0，1，），所以．
又平面PAB的法向量可取为，而，即．
又CM⊄平面PAB，所以CM∥平面PAB．…（6分）
（Ⅱ）设平面PBC的法向量为．
∵，
∴
不妨取z1=1，则x1=λ，y1=0，∴．
又设平面PCD的法向量为．
∵，∴
不妨取z2=-2，则y2=-λ，x2=-λ，∴．…（9分）
由的方向可知，解得λ=1．   …（11分）
所以四棱锥P-ABCD-体积为．                  …（12分）