Question

（1）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形；

（2）图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式b_n

（3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为a_n（n=1，2，3，…），设，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由前三个图形小正方形的排列规律，不难得出第四个图形有四层，从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形．
（2）由图形从左向右数着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以{bn}构成以1为首项，公比为3的等比数列，由此不难得到{bn}的通项公式；
（3）根据（1）和（2）的结论，易得，发现{cn}是一个等差数列和等数列的对应项相乘而得的一个新数列，接下来可用错位相减法，来求它的前n项和Sn．
【解析】
（1）在第一个图形中，只有一层，一个小正方形；
在第二个图形中，有两层，从上至下分别为1个、2个小正方形；
在第三个图形中，有三层，从上至下分别为1个、2个、3个小正方形；
由此归纳：第四个图形中，有四层，从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形．
因此答案如右图所示：
（2）由图形从左向右数着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，
所以，所以{bn}构成以1为首项，公比为3的等比数列，由此不难得到{bn}的通项公式，
∴由等比数列的通项公式，可得着色三角形的个数的通项公式为：．
（3）由题意，可得an=1+2+3+4+…+n=，
∴，
所以 ．①
所以 ．②
①-②得 ．
所以-2Sn=．
即，其中n∈N+