Question

已知椭圆的两个焦点分别是，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN中点的横坐标为，求直线l的倾斜角的范围．

Answer

（1）根据焦距，求得a和b的关系，利用离心率求得a和b的另一公式联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立消去y，利用判别式大于0大于k和b的不等式关系，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，根据MN的中点的横坐标求得k和b的关系，进而求得b的范围，分别看b≥3和b≤-3两种情况，求得k的范围，则直线的倾斜角的范围可得．
【解析】
（1）依题意可知求得a=3，b=1
∴椭圆的方程为：=1
（2）直线l不与坐标轴平行，设为y=kx+b（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）
联立方程：则（9+k2）x2+2kbx+b2-9=0
△=（2kb）2-4（9+k2）（b2-9）＞0，k2-b2+9＞0
x1+x2=-，x1x2=
MN的中点的横坐标=（x1+x2）=-
所以x1+x2=-1，可得所以9+k2=2kb，
整理得（k-b）2=b2-9≥0，故b2≥9，解得b≥3或b≤-3
又b（b-2k）＜0
所以b≥3时，b-2k＜0，k＞≥
b≤-3＜0时，b-2k＞0，k＜≤-
所以k的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）
直线l的倾斜角的取值范围为：（arctan，）∪（，π-arctan）