Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x₁）-f（x₂），且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值．
（2）判断f（x）的单调性．
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Answer

（1）令x1=x2＞0，代入可得答案；
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，可得f（x1）＜f（x2），进而可得函数的单调性；
（3）由题意可得f（9）=-2，故可把不等式化为f（|x|）＜f（9），由函数的单调性可知|x|＞9，解之可得答案．
【解析】
（1）令x1=x2＞0，代入原式可得：
f（1）=f（x1）-f（x1）=0，
故f（1）的值为0；
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，
由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数；
（3）由f（）=f（x1）-f（x2）得f（）=f（9）-f（3），
因为f（3）=-1，所以f（9）=-2，
所以不等式f（|x|）＜-2可化为f（|x|）＜f（9），
由于函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数，
所以|x|＞9，解得x＞9，或x＜-9，
故不等式的解集为{x|x＞9，或x＜-9}