Question

函数f（x）是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=
（1）求f（-1）的值；
（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）求当x＜0时，函数的解析式．

Answer

（1）利用偶函数的性质可得，f（-1）=f（1），把x=1代入当x＞0时，函数的解析式求值．
（2）设a＞b＞0，化简f（a）-f（b）到因式乘积的形式，判断符号，根据增减函数的定义做出判断．
（3）设x＜0，则-x＞0，利用x＞0时，函数的解析式，求出 f（-x）的解析式，再利用偶函数的定义求即得x＜0时的解析式．
【解析】
（1）f（-1）=f（1）=2-1=1．
（2）证明：设a＞b＞0，f（a）-f（b）=（-1）-（-1）=，
由a＞b＞0知，＜0，∴f（a）＜f（b），∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=-1=f（x），
∴f（x）=-1，即当x＜0时，函数的解析式为 f（x）=-1．