Question

已知向量=（1，-2），=（a，-1），=（-b，0）（其中a＞0，b＞0，O是坐标原点），若A，B，C三点共线，则的最小值为    ．

Answer

利用，，的坐标，结合A，B，C三点共线可求得a，b的关系，利用基本不等式即可求得答案．
【解析】
∵=（1，-2），=（a，-1），=（-b，0），
∴=（a-1，1），
=（-b-1，2），
∵A，B，C三点共线，
∴2（a-1）-（-b-1）=0，
∴2a+b=1．又a＞0，b＞0，
∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=4+2×2=8（当且仅当a=，b=时取等号）．
故答案为：8．