Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B₁E⊥AD₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B₁E-A₁的大小为30°，求AB的长．

Answer

（Ⅰ）由题意及所给的图形，可以A为原点，，，的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB=a，给出图形中各点的坐标，可求出向量与的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直．
（II）由题意，可先假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量与直线DP的方向向量内积为0，由此方程解出t的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的t的值，说明不存在这样的点P满足题意．
（III）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30°建立关于a的方程，解出a的值即可得出AB的长
【解析】
（I）以A为原点，，，的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E（，1，0），B1（a，0，1）
故=（0，1，1），=（-，1，-1），=（a，0，1），=（，1，0），
∵•=1-1=0
∴B1E⊥AD1；
（II）假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE．此时=（0，-1，t）．
又设平面B1AE的法向量=（x，y，z）．
∵⊥平面B1AE，∴⊥B1A，⊥AE，得，取x=1，得平面B1AE的一个法向量=（1，-，-a）．
要使DP∥平面B1AE，只要⊥，即有•=0，有此得-at=0，解得t=，即P（0，0，），
又DP⊈平面B1AE，
∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP=
（III）连接A1D，B1C，由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1，得AD1⊥A1D．
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．
由（I）知，B1E⊥AD1，且B1C∩B1E=B1．
∴AD1⊥平面DCB1A1，
∴AD1是平面B1A1E的一个法向量，此时=（0，1，1）．
设与所成的角为θ，则cosθ==
∵二面角A-B1E-A1的大小为30°，
∴|cosθ|=cos30°=即=，解得a=2，即AB的长为2