Question

平地上有一条水渠，其横断面是一段抛物线弧，如图，已知渠宽为m，渠深为6m．
（1）若渠中水深为m，求水面的宽，并计算水渠横断面上的过水面积；
（2）为了增大水渠的过水量，现要把这条水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．

Answer

（1）建立坐标系，设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）．由已知点P（2，6）在抛物线上，推导出抛物线的方程为y=，由此能求出水渠横断面过水面积．
（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，设切点M（t，），t＞0．则函数在点M的切线方程为y-=，由此能推导出设计改挖后的水渠的底宽为2m时，可使用权所挖土的土方量最少．
【解析】
（1）建立如图的坐标系，
设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）．
由已知点P（2，6）在抛物线上，得p=2，
∴抛物线的方程为y=，
令y=4，得x=±4，即水面宽为8（m），
∴水渠横断面过水面积为2（4×4-
2（16-）=（m2）．
（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，
如图，设切点M（t，），t＞0．
则函数在点M的切线方程为y-=，
令y=0，y=6，得A（，0），B（+，6），
∴此时校对形OABC的面积为S（t）==3（t+），t＞0，
∵S（t）=3（t+）≥12，
当且仅当t=2时，等号成立，
此时|OA|=，
∴设计改挖后的水渠的底宽为2m时，可使用权所挖土的土方量最少．