Question

已知椭圆E₁： E₂：．E₁与E₂有相同的离心率，过点F（）的直线l与E₁，E₂依次交于A，C，D，B四点（如图）．当直线l过E₂的上顶点时，直线l的倾斜角为．
（1）求椭圆E₂的方程；
（2）求证：|AC|=|DB|；
（3）若|AC|=1，求直线l的方程．

Answer

（1）根据当直线l过E2的上顶点时，直线l的倾斜角为，且椭圆的离心率是，建立方程，即可求得椭圆E2的方程；
（2）当直线l垂直x轴时，易求得|AC|=|DB|．当直线l不垂直x轴时，设l：y=k（x-），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系得出x1+x2=x3+x4从而有|AC|=|DB|．
（3）由（2）知，|AC|=|CD|+2，先分类讨论：当直线l垂直x轴时，不合要求；当直线l不垂直x轴时，设l：y=k（x-），由（2）知，x1+x2=x3+x4，x1x2，x3x4，利用弦长公式即可得关于k的方程，从而解决问题．
【解析】
（1）∵b=1，，∴a=2，b=1，
因此椭圆E2的方程为x2+y2=1．
（2）当直线l垂直x轴时，易求得A（-，-），C（-，-），D（-，），B（-，）
因此|AC|=|DB|．
当直线l不垂直x轴时，设l：y=k（x-）
由
得（1+4k2）x2+8k2x+12k2-4=0     ①，
由
得（1+4k2）x2+8k2x+12k2-10=0   ②，
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则x3、x4是方程①的解，
x1、x2是方程②的解．∵x1+x2=x3+x4=，
线段AB，CD的中点重合，∴|AC|=|DB|．
（3）．由（2）知，|AC|=|CD|+2，
当直线l垂直x轴时，不合要求；
当直线l不垂直x轴时，设l：y=k（x-），由（2）知，
x1+x2=x3+x4=，x1x2=，
x3x4=，|CD|==，
|AB|==，
∴+2=，
化简可得：8k4-2k2-1=（4k2+1）（2k2-1）=0，
∴k=，
∴l：y=（x+）．