Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）由题设条件知b1=a2-2a1=3．由Sn+1=4an+2和Sn=4an-1+2相减得an+1=4an-4an-1，即an+1-2an=2（an-2an-1），所以bn=2bn-1，由此可知{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．
（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）由a1=1，及Sn+1=4an+2，
得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2-2a1=3．
由Sn+1=4an+2，①
则当n≥2时，有Sn=4an-1+2，②
①-②得an+1=4an-4an-1，所以an+1-2an=2（an-2an-1），
又bn=an+1-2an，所以bn=2bn-1，所以{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）
（2）由（I）可得bn=an+1-2an=3•2n-1，等式两边同时除以2n+1，得．
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
所以，即an=（3n-1）•2n-2（n∈N*）．（13分）