Question

已知x=-2与x=4是函数f（x）=-x³+ax²+bx的两个极值点．
（1）求常数a、b的值；
（2）判断函数x=-2，x=4处的值是函数的极大值还是极小值，并说明理由．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，由题意知-2，4是方程f'（x）=0的两实根，由韦达定理可求出a，b的值．
（2）将a，b的值代入导函数，然后根据导函数的符号及极值点的定义可确定是极大值还是极小值．
【解析】
（1）f′（x）=-3x2+2ax+b．
由极值点的必要条件可知x=-2和x=4是方程f′（x）=0的两根，
则-2+4=，-2×4=，解得a=3，b=24．
（2）由（1）知，f′（x）=-3x2+6x+24=-3（x+2）（x-4），
当x＜-2或x＞4时，f′（x）＜0；
当-2＜x＜4时，f′（x）＞0．
∴当x=-2时f（x）取得极小值，x=4时f（x）取得极大值．