Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（ 1，0 ） 处相切，
（1）求a，b，c的值．
（2）若关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，求m的取值范围．

Answer

（1）欲求函数的解析式，只需找到关于a，b，c的三个方程即可，因为函数f（x）在x=-2时取得极值，所以当x=-2时，导数等于0，因为函数图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．所以当x=1时，导数等于-3，原函数值等于0，这样就得到关于a，b，c的三个方程，解出a，b，c即可．
（2）数形结合：关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，等价于函数y=f（x）和y=m图象有三个交点，利用导数求出f（x）的极大值、极小值，则m介于两者之间；
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2ax+b，
∵函数f（x）在x=-2时取得极值，∴f′（-2）=0，即12-4a+b=0①，
∵函数图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．
∴f′（1）=-3，f（1）=0，即 3+2a+b=-3②，1+a+b+c=0③，
由①②③解得a=1，b=-8，c=6；
（2）由（1）知，f（x）=x3+x2-8x+6，f′（x）=3x2+2x-8=（3x-4）（x+2），
由f′（x）＞0得，x＜-2或x＞，由f′（x）＜0得，-2＜x＜，
所以f（x）在（-∞，-2）和（，+∞）上递增，在（-2，）上递减，
所以当x=-2时f（x）取得极大值f（-2）=18，当x=时f（x）取得极小值f（）=-，
因为关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，所以函数y=f（x）和y=m图象有三个交点，
所以-＜m＜18，即为m的取值范围．