Question

已知函数f（x）=x³-ax²+2x．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）对函数求导数，得f'（x）=x2-2ax+2，计算出根的判别式△=4a2-8，然后根据-≤a≤时和a≤-或a≥时两种情况加以讨论，得到导数在各个区间上的正负，即可得到f（x）在各种情况下的单调区间；
（2）由（1）可得当-≤a≤时，显然满足条件f（x）在[1，+∞）上是增函数；当a≤-或a≥时，解不等式a+≤1，可得a≤-．由此即可得到符合题意的实数a的取值范围．
【解析】
∵函数f（x）=x3-ax2+2x，
∴f'（x）=x2-2ax+2
①当4a2-8≤0时，即-≤a≤时，f'（x）≥0恒成立，可得f（x）在R上是增函数，
②当a≤-或a≥时，f'（x）=0的根是x1=a-，x2=a+，
∵当x＜a-或x＞a+时，f'（x）＞0；当a-＜x＜a+时，f'（x）＜0
∴函数f（x）的增区间是（-∞，a-）和（a+，+∞）；减区间是（a-，a+）；
（2）由（1）可得
①当-≤a≤时，f（x）在[1，+∞）上是增函数，符合题意；
②当a≤-或a≥时，由f（x）在[1，+∞）上是增函数，可得a+≤1，解之得a≤-．
综上所述，可得实数a的取值范围是（-∞，]．