Question

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是    （写出所有正确命题的编号）．
①若ab＞c²，则C＜
②若a+b＞2c，则C＜
③若a³+b³=c³，则C＜
④若（a+b）c=2ab，则C＞
⑤若（a²+b²）c²=2a²b²，则C＞．

Answer

①利用余弦定理，将c2放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C＜；②利用余弦定理，将c2放大为（）2，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C＜；③利用反证法，假设C≥时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；④⑤只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形
【解析】
①ab＞c2⇒cosC=＞=⇒C＜，故①正确；
②a+b＞2c⇒cosC=＞≥=⇒C＜，故②正确；
③当C≥时，c2≥a2+b2⇒c3≥ca2+cb2＞a3+b3与a3+b3=c3矛盾，故③正确；
④取a=b=c=2，满足（a+b）c=2ab得：C=＜，故④错误；
⑤取a=b=c=，满足（a2+b2）c2=2a2b2，此时有C=，故⑤错误
故答案为①②③