Question

已知函数f（x）=
（1）证明：f（x）在区间（-1，+∞）上单调递减；
（2）若f（x）≤a在区间[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）设-1＜x1＜x2，根据减函数的定义，只需通过作差说明f（x1）＞f（x2）即可；
（2）f（x）≤a在区间[0，+∞）上恒成立，等价于x∈[0，+∞）时f（x）max≤a，借助（1）问函数的单调性可求其最大值．
（1）证明：设-1＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=-=．
因为-1＜x10，x2+1＞0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）=在（-1，+∞）上单调递减．
（2）【解析】
f（x）≤a在区间[0，+∞）上恒成立，等价于x∈[0，+∞）时f（x）max≤a，
由（1）知，f（x）在[0，+∞）上单调递减，所以f（x）max=f（0）=1，
所以有a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．