Question

已知函数f（x）=-x^m，且f（4）=-．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

Answer

（1）欲求m的值，只须根据f（4）=-的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；
（2）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．
【解析】
（1）∵f（4）=-，
∴-4m=-．∴m=1．
（2）f（x）=-x在（0，+∞）上单调递减，证明如下：
任取0＜x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）==（x2-x1）．
∵0＜x1＜x2，
∴x2-x1＞0，+1＞0．
∴f（x1）-f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2），
即f（x）=-x在（0，+∞）上单调递减．