Question

若函数f（x）满足：对定义域内任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有，则称函数f（x）为H函数．已知f（x）=x²+cx，且f（x）为偶函数．
（1）求c的值；
（2）求证：f（x）为H函数；
（3）试举出一个不为H函数的函数g（x），并说明理由．

Answer

（1）由题意可得f（-x）=f（x）对任意的x都成立，从而可求c及f（x）
（2）要证f（x）为H函数，只要证明，即可
（3）例：g（x）=log2x（说明：底数大于1的对数函数或-x2都可以即上凸函数）
【解析】
（1）因为f（x）=x2+cx，为偶函数，
∴f（-x）=f（x）对任意的x都成立
即x2-cx=x2+cx对任意x都成立
即cx=0对任意的x都成立
所以c=0，f（x）=x2
（2）∵.…（4分）
=，…（5分）
∴，即f（x）为H函数．…（6分）
（3）例：g（x）=log2x．…（8分）
（说明：底数大于1的对数函数或-x2都可以）．
理由：当x1=1，x2=2时，，…（10分）
，…（12分）
显然不满足，
所以该函数g（x）=log2x不为H函数．…（14分）