Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，点P从B点出发，在正方形BCC₁B₁的边上按逆针方向按如下规律运动：设第n次运动的路程为a_n，且，第n次运动后P点所在位置为P_n，回到B点后不再运动．
（1）求二面角P_i-AC-B的余弦值；
（2）是否存在正整数i、j，使得直线P_iP_j与平面ACD₁平行？若存在，找出所有符合条件的P_iP_j，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先由求得当n=1、2、3、4、5、6、7、8时的an的值，找出对应的Pi（i=1，2，3，4，5，6，7，8）的位置，然后根据Pi的不同位置求解二面角Pi-AC-B的余弦值；
（2）由线面平行的判定定理，分析Pi（i=1，2，3，4，5，6，7，8）的8个点中有哪些点的连线能够与平面ACD1内的线平行，找出与平面ACD1内平行的线即可．
【解析】
（1）由，知：a1=a5=2，a2=a6=1，a3=a7=2，a4=a8=3．
当i=1、2、8时，点P1，P2，P8位于线段BC上，此时二面角Pi-AC-B的平面角为0°，所以，二面角的余弦值等于1；
当i=3、4时，P3、P4位于平面ACC1上，此时二面角Pi-AC-B的大小为90°，所以，二面角的余弦值等于0；
然后以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
当i=5或6时，点P5，P6位于线段C1B1上，此时P5（2，4，4），P6（3，4，4），A（4，0，0），C（0，4，0）
所以，，
设平面AP5C的法向量为，平面AP6C的法向量为，
由⇒，取z1=1，得x1=-2，y1=-2，
所以
由⇒，取z2=3，得x2=-4，y2=-4，
所以，
由题意知平面ABC的一个法向量为，
再设二面角P5-AC-B=α，二面角P6-AC-B=β，
所以，
当i=7时，P7在线段BB1上，取AC中点E，连接BE、P7E，则∠P7EB为二面角P7-AC-B的平面角，
在直角三角形P7BE中，，，所以，所以．
（2）存在正整数i=2，j=3；i=4，j=8；i=6，j=7使得直线PiPj与平面ACD1平行，
∵P2P3，P4P8，P6P7均不在平面ACD1内，且都平行于AD1，而AD1⊂面ACD1，
根据线面平行的判定可得三条直线均平行于平面ACD1．