Question

如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）
（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

Answer

（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB
（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知S（3，-），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．
【解析】
（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，
即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，
又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）
（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐
标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），
则N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知S（3，-）．…（8分）
故=（cosα-3，sinα+），=（-cosα-3，-sinα+），
∴•=（cosα-3）（-cosα-3）+（sinα-）（-sinα-）=11（10分）
||•||=×=×==
由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）
所以cos∠MSN=∈[，1]，
∴∠MSN＜60°恒成立
故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面