Question

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先设出椭圆C的标准方程，进而根据焦点和椭圆的定义求得c和a，进而求得b，则椭圆的方程可得．
（2）先假设直线存在，设出直线方程与椭圆方程联立消去y，进而根据判别式大于0求得t的范围，进而根据直线OA与l的距离求得t，最后验证t不符合题意，则结论可得．
【解析】
（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为
F（-2，0），从而有，解得c=2，a=4，
又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，
由得3x2+3tx+t2-12=0，
因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2-4×3（t2-12）≥0，解得-4≤t≤4，
另一方面，由直线OA与l的距离4=，从而t=±2，
由于±2∉[-4，4]，所以符合题意的直线l不存在．