Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（其中a＞0，且a≠1）
（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

Answer

（1）利用对数的真数大于0，可得函数的定义域；
（2）利用函数奇偶性的定义，结合对数的运算性质，可得结论；
（3）结合对数的运算性质，分类讨论，即可求得使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．
【解析】
（1）由题意得：，∴-1＜x＜1
∴所求定义域为{x|-1＜x＜1，x∈R}；
（2）函数f（x）-g（x）为奇函数
令H（x）=f（x）-g（x），则H（x）=loga（x+1）-loga（1-x）=loga，
∵H（-x）=loga=-loga=-H（x），
∴函数H（x）=f（x）-g（x）为奇函数；
（3）∵f（x）+g（x）=loga（x+1）+loga（1-x）=loga（1-x2）＜0=loga1
∴当a＞1时，0＜1-x2＜1，∴0＜x＜1或-1＜x＜0；
当0＜a＜1时，1-x2＞1，不等式无解
综上：当a＞1时，使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为{x|0＜x＜1或-1＜x＜0}．