Question

递减的等差数列{a_n}的前n项和为S_n．若a₃•a₅=63，a₂+a₆=16，
（1）求{a_n}的通项公式
（2）当n为多少时，S_n取最大值，并求其最大值．
（3）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer

（1）a2+a6=a3+a5=16，由此可把a3与a5看作方程x2-16x+63=0的两根，解出a3与a5，根据通项公式可得公差及首项；
（2）由递减等差数列性质可知，要使Sn取最大值，则有an≥0，an+1≤0，解出n，即可求得正整数n值；
（3）分①当n≤12时，②当n＞12时两种情况进行讨论，借助等差数列前n项和公式即可求得答案；
【解析】
（1）a2+a6=a3+a5=16，又a3•a5=63，
所以a3与a5是方程x2-16x+63=0的两根，
解得，
又该等差数列递减，所以，
则公差d=，a1=11，
所以an=11+（n-1）（-1）=12-n；
（2）由，即，解得11≤n≤12，
又n∈N*，所以当n=11或12时Sn取最大值，最大值为S11==66；
（3）由（2）知，当n≤12时an≤0，当n＞12时an＞0，
①当n≤12时，
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-（a1+a2+a3+…+an）
=-Sn=-=-=-；
②当n＞12时，
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-（a1+a2+a3+…+a12）+（a13+a14+…+an）
=Sn-2S12=-2×66=-；
所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=．